Question

1．如图，在平面直角坐标系中，拋物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4与直线y=kx+4交于点A、C，与x轴交于点A、B，点A在原点左侧，点D是该拋物线的顶点．已知tan∠OCA=$\frac{1}{2}$，连接CB．
（1）求△ACB的面积；
（2）已知点M（m，3），求m的值，使得MC+MD有最小值，并求出此最小值；
（3）点P是x轴上一个动点，点Q是拋物线上一点，求使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得C的坐标，根据已知得出A（-2，0），代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4求得b=1，然后令y=0，则0=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，解方程即可求得B的坐标，进而求得AB=6，然后根据三角形面积公式求得即可；
（2）根据抛物线的解析式可得出顶点D的坐标，作直线y=3，然后再作C关于直线y=3的对称点C′，连接C′D，交直线y=3于M，M即为所求，MC+MD有最小值就是C′D的长；设直线C′D的解析式为y=kx+n，利用待定系数法即可求得解析式，然后令y=0，即可求得m的值，根据勾股定理求得C′D的长即可．（3）先根据题意结合图形，画出点P和点Q的位置，然后利用平行线的性质，及抛物线上点的坐标特点可求出三个P的坐标．

解答 解：（1）∵拋物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4与直线y=kx+4交于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵tan∠OCA=$\frac{1}{2}$，
∴A（-2，0），
代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4求得b=1，
∴拋物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
令y=0，则0=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，解得x=-2或x=4，
∴B（4，0），
∴AB=6，
∴△ACB的面积=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×6×4=12．
（2）由y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴D（1，$\frac{9}{2}$），
如图作直线y=3，然后再作C关于直线y=3的对称点C′，连接C′D，交直线y=3于M，M即为所求，MC+MD有最小值就是C′D的长；
∵C（0，4），
∴C′（0，2），
设直线C′D的解析式为y=kx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{k+n=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线C′D的解析式为y=$\frac{5}{2}$x+2，
把y=3代入得3=$\frac{5}{2}$x+2，解得x=$\frac{2}{5}$，
∴M（$\frac{2}{5}$，3），
∴m=$\frac{2}{5}$；
∴C′D=$\sqrt{（1-0）^{2}+（\frac{9}{2}-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{29}}{2}$，
∴，MC+MD的最小值为$\frac{\sqrt{29}}{2}$．
（3）抛物线上有三个这样的点Q，

①当点Q在Q₁位置时，Q₁的纵坐标为4，代入抛物线可得点Q₁的坐标为（2，4），
∵OA=2，
∴P₁的坐标为（0，0），；
②当点Q在点Q₂位置时，点Q₂的纵坐标为-4，代入抛物线可得点Q₂坐标为（1+$\sqrt{17}$，-4），
∵OA=2，
∴P₂的坐标为（3+$\sqrt{17}$，0），；
③当点Q在Q₃位置时，点Q₃的纵坐标为-3，代入抛物线解析式可得，点Q₃的坐标为（1-$\sqrt{17}$，-4）
∵OA=2，
∴P₃的坐标为（3-$\sqrt{17}$，0），；
综上可得满足题意的点P有三个，分别为：P₁（0，0），P₂（3+$\sqrt{17}$，0），Q₃（3-$\sqrt{17}$，0）．

点评 此题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，轴对称的性质以及最短路线问题，平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，认真探究题目，谨慎作答