Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，cosA=$\frac{1}{4}$，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P．
（1）若⊙P与AC边的另一交点为点D，设AP=x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；
（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；
（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为$\sqrt{2}$，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图1，利用三角函数可得AH=$\frac{1}{4}$x，根据勾股定理可得PH=$\frac{\sqrt{15}}{4}$x，根据垂径定理可得AD=2AH=$\frac{1}{2}$x，从而可得CD=4-$\frac{1}{2}$x，即可得到y与x的关系；
（2）过点P作PG⊥BC，垂足为G，如图2，根据同圆中相等的弦所对的弦心距相等可得PH=PG=$\frac{\sqrt{15}}{4}$x，在Rt△PGB中，运用三角函数即可求出AP的值；
（3）设⊙P与⊙C的公共弦EF与PC交于点O，如图3，根据勾股定理可得CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，P0=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$，从而有CP=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后在Rt△CHP中，运用勾股定理即可求出x的值．

解答 解：（1）过点P作PH⊥AC，垂足为H，连接PC，如图1，
则有AH=APcosA=$\frac{1}{4}$x，PH=$\sqrt{A{P}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$x，
AD=2AH=$\frac{1}{2}$x，CD=AC-AD=4-$\frac{1}{2}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$CD•PH=$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{1}{2}$x）×$\frac{\sqrt{15}}{4}$x=-$\frac{\sqrt{15}}{16}$x²+$\frac{\sqrt{15}}{2}$x（0＜x＜8）；

（2）过点P作PG⊥BC，垂足为G，如图2，
∵⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，
∴PH=PG=$\frac{\sqrt{15}}{4}$x．
在Rt△ACB中，AC=AB•cosA，
∴4=$\frac{1}{4}$AB，即AB=16，
∴BP=AB-AP=16-x．
在Rt△PGB中，
∵sinB=$\frac{PG}{BP}$，sinB=cosA=$\frac{1}{4}$，PG=$\frac{\sqrt{15}}{4}$x，BP=16-x，
∴$\frac{\sqrt{15}}{4}$x=$\frac{1}{4}$（16-x），
解得：x=$\frac{8\sqrt{15}-8}{7}$，
∴AP=$\frac{8\sqrt{15}-8}{7}$；

（3）设⊙P与⊙C的公共弦EF与PC交于点O，如图3，
则有EF=$\sqrt{2}$，EO=OF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PC⊥EF，CE=CF=1，PE=PF=x，
∴CO=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，P0=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$，
∴CP=OP+CO=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△CHP中，
∵CH²+PH²=PC²，
∴（4-$\frac{1}{4}$x）²+（$\frac{\sqrt{15}}{4}$x）²=（$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
整理得16-2x=$\sqrt{2{x}^{2}-1}$，
∴（16-2x）²=2x²-1，
整理得2x²-64x+257=0，
解得：x₁=$\frac{32-\sqrt{510}}{2}$，x₂=$\frac{32+\sqrt{510}}{2}$．
∵点P是边AB上的动点，
∴AP=x≤16，
∴AP=$\frac{32-\sqrt{510}}{2}$．

点评 本题主要考查了垂径定理、相交两圆的性质、勾股定理、三角函数、同圆或同圆中弦与弦心距之间的关系等知识，要求一个未知数的值，通常可运用相似三角形的性质、勾股定理或三角函数建立方程，然后解这个方程就可解决问题．