Question

14．在△ABC和△DEC中，∠A=∠EDC=45°，∠ACB=∠DCE=30°，点DC在AC上，点B和点E在AC两侧，AB=5，$\frac{DC}{AC}$=$\frac{2}{5}$．
（1）求CE的长；
（2）如图2，点F和点E在AC同侧，∠FAD=∠FDA=15°．
①求证：AB=DF+DE；
②连接BE，直接写出△BEF的面积．

Answer 1

分析 （1）过点E作EN⊥DC于点N，证明△ABC∽△DEC．得出对应边成比例$\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{AC}$，求DE，再在△DEC中，由∠EDC=45°，∠DCE=30°，求出DN=EN=$\sqrt{2}$，即可得出CE=2EN=$\sqrt{2}$DE=2$\sqrt{2}$；
（2）①过点F作FM⊥FD交AB于点M，连接MD，先证明△AMF为等边三角形，得出FM=AF=FD=AM，得出∠FMD=∠FDM=45°，再证出MD∥BC，得出比例式求出MB=DE，即可得出结论；
②由三角形的面积公式=$\frac{1}{2}$absinC，分别求出五边形ABCEF的面积、△ABF的面积、△BCE的面积，△BEF的面积=五边形ABCEF的面积-△ABF的面积-△BCE的面积，即可得出结果．

解答 解：（1）过点E作EN⊥DC于点N，如图1所示：
在△ABC和△DEC中，
∵∠A=∠EDC，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△DEC．
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{AC}$，
∵AB=5，$\frac{DC}{AC}$=25，
∴DE=2．
在△DEC中，∠EDC=45°，∠DCE=30°，
∴DN=EN=$\sqrt{2}$，CE=2EN=$\sqrt{2}$DE，CN=$\sqrt{3}$EN=$\sqrt{6}$，
∴CE=2$\sqrt{2}$．

（2）①证明：过点F作FM⊥FD交AB于点M，连接MD，如图2所示：
∵∠FAD=∠FDA=15°，
∴AF=DF，∠AFD=150°．
∴∠AFM=60°．
∵∠MAF=∠BAC+∠DAF=60°，
∴△AMF为等边三角形．
∴FM=AF=FD=AM，
∴∠FMD=∠FDM=45°．
∴∠AMD=105°=∠ABC．
∴MD∥BC，
∴$\frac{MB}{DC}=\frac{AB}{AC}$．
由（1）知：$\frac{DE}{DC}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{MB}{DC}=\frac{DE}{DC}$，
∴MB=DE．
∴AB=DF+DE．
②由①得：DF=AB-DE=3，
∴FM=FD=AM=3，
∴MD=3$\sqrt{2}$，
∵MD∥BC，
∴MD：BC=AM：AB，
即3$\sqrt{2}$：BC=3：5，
∴BC=5$\sqrt{2}$，
∵DC：AC=2：5，CD=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴AC=$\frac{5（\sqrt{2}+\sqrt{6}）}{2}$，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×AB×ACsin45°=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5（\sqrt{2}+\sqrt{6}）}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{25+25\sqrt{3}}{4}$，
△ADF的面积=$\frac{1}{2}$×AF×DFsin150°=$\frac{1}{2}$×3×3×$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{4}$，
△CDE的面积=$\frac{1}{2}$×CD×CEsin30°=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）×2$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=1+$\sqrt{3}$，
△DEF的面积=$\frac{1}{2}$×DE×DFsin120°=$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
△ABF的面积=$\frac{1}{2}$×AB×AFsin60°=$\frac{1}{2}$×5×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
△BCE的面积=$\frac{1}{2}$×BC×CEsin60°=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，
∴△BEF的面积=五边形ABCEF的面积-△ABF的面积-△BCE的面积=（$\frac{25+25\sqrt{3}}{4}$+$\frac{9}{4}$+1+$\sqrt{3}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）-$\frac{15\sqrt{3}}{4}$-5$\sqrt{3}$=$\frac{19}{2}$．

点评 本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角函数的运用以及三角形面积的计算方法等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明平行线以及间接计算三角形的面积才能得出结果．