Question

20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（-2，4），直线x=-2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=-2交于点P，顶点M到A点时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，
①用m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；
③当线段PB最短时，在抛物线对称轴的右侧是否存在一点Q，使△PMQ为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根据A点的坐标，用待定系数法即可求出直线OA的解析式．
（2）①由于M点在直线OA上，可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标，因为M点是平移后抛物线的顶点，因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式，P的横坐标为2，将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标．
②PB的长，实际就是P点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时，对应的m的值．
（3）需要分类讨论：当∠PMQ=90°或∠MPQ=90°时，分别求出符合题意点Q的坐标即可．

解答 解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（-2，4），
∴-2k=4，
∴k=-2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=-2x；
（2）∵顶点M在OA上，
∴M（m，-2m），
平移后的抛物线为y=（x-m）²-2m，
①当x_p=-2时，
y_p=（-2-m）²-2m
=4+4m+m²-2m
=m²+2m+4
=（m+1）²+3，
∴P（-2，m²+2m+4）；
②P_B=m²+2m+4=（m+1）²+3，
m=-1时，PB=3，此时PB最短；
③m=-1，PB=3最短，M（-1，2），P（-2，3），
当∠PMQ=90°，
P（-2，3），M（-1，2），则直线PM为y=-x+1，
可求出直线MQ为y=x+3，
则Q点坐标为$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=（x+1）^{2}+2}\end{array}\right.$，
∴Q₁（0，3）；
当∠MPQ=90°，
直线PQ为y=x+5，
∴Q点坐标为$\left\{\begin{array}{l}{y=x+5}\\{y=（x+1）^{2}+2}\end{array}\right.$，
∴Q₂（1，6）．
即Q的坐标为Q₁（0，3），Q₂（1，6）．

点评 本题是二次函数的综合性题目，用到的有关知识点有：一次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、函数图象的交点、解题的关键是利用分类讨论和数形结合的数学思想方法，做到对问题的解不重不漏．