Question

19．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，sin∠BCD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，重足为H．
（1）求证：∠BCD=∠BDC；
（2）如图1，若以P为圆心，PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，DP的长；
（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．

Answer 1

分析 （1）作DQ⊥BC，在直角△CDQ中利用三角函数即可求解；
（2）设DP=x，当⊙P与⊙H外切时，PH=DH+BP，据此即可列方程求得；
（3）作PM∥BE，分△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等求解．

解答 解：（1）作DQ⊥BC，
∵BQ=AD=3，DQ=AB=4，
∴CD=$\frac{DQ}{sin∠BCD}$=2$\sqrt{5}$，CQ=2，
∴BC=5=BD，
∴∠BCD=∠BDC；

（2）设DP=x，则DH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，PH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，BP=5-x．
当⊙P与⊙H外切时，PH=DH+BP，
即$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x+5-x，
解得：x=$\frac{25-5\sqrt{5}}{4}$；

（3）作PM∥BE．
则PM=DP=x，DH=HM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，
由$\frac{PM}{CE}$=$\frac{FM}{CF}$=1，CF=FM=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，
当△ADH∽△FCE时，$\frac{AD}{CF}=\frac{DH}{CE}$，
即$\frac{3}{\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}x}{x}$，
解得：x=-10（舍去）．
当△ADH∽△ECF时，$\frac{AD}{CE}$=$\frac{DH}{CF}$，
即$\frac{3}{x}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}x}{\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}x}$，
解得：x=$\frac{-3+\sqrt{69}}{2}$．
∴DP的长是$\frac{-3+\sqrt{69}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数以及相似三角形的判定与性质和圆外切的性质，正确分成△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF两种情况进行讨论，求得x的值是关键．