Question

20．四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE=$\sqrt{3}$，则CE的长为4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由菱形的性质证出△ABD是等边三角形，得出BD=AB=6，OB=$\frac{1}{2}$BD=3，由勾股定理得出OC=OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，即可得出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴OC=OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AC=2OA=6$\sqrt{3}$，
∵点E在AC上，OE=$\sqrt{3}$，
∴当E在点O左边时CE=OC+$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$
当点E在点O右边时CE=OC-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴CE=4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$；
故答案为：4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．