Question

2．如果x的一元二次方程kx²-$\sqrt{2k+1}$x+1=0有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）若x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=9，求实数k的值；
（3）若抛物线y=kx²-$\sqrt{2k+1}$x+1（k≠-$\frac{3}{8}$）过点（4，-7），若P（a，y₁）、Q（1，y₂）是此抛物线上的两点，且y₁＞y₂，请结合函数图象确定实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于关于x的一元二次方kx²-$\sqrt{2k+1}$x+1=0有两个不相等的实数根，所以k≠0且△=b²-4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得到方程（$\frac{\sqrt{2k+1}}{k}$）²-2•$\frac{1}{k}$=9，即可得到结论；
（3）由题意得：-7=16k-4$\sqrt{2k+1}+1$，$\sqrt{2k+1}=4k+2$，求得k₁=-$\frac{3}{8}$，k₂=-$\frac{1}{2}$，由k≠-$\frac{3}{8}$，得到k=-$\frac{1}{2}$，即可得到抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+1，根据二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵x的一元二次方程kx²-$\sqrt{2k+1}$x+1有两个不相等的实数根，
∴△=（-$\sqrt{2k+1}$）²-4k≥0，且k≠0，
解得：-$\frac{1}{2}≤k＜\frac{1}{2}$且k≠0；

（2）∵x₁²+x₂²=9，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9，
∴（$\frac{\sqrt{2k+1}}{k}$）²-2•$\frac{1}{k}$=9，
解得：k=±3；

（3）由题意得：-7=16k-4$\sqrt{2k+1}+1$，$\sqrt{2k+1}=4k+2$，
∴2k+1=16k²+16k+4，
解得：k₁=-$\frac{3}{8}$，k₂=-$\frac{1}{2}$，
∵k≠-$\frac{3}{8}$，
∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+1，
如图，由图象可知，当y₁＞y₂，-1＜a＜1．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根