Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=-x-4经过A，C两点，

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=AO，求P，Q的坐标；

（3）动点M在直线y=-x-4上，且以C，O，M为顶点的三角形与△ABC相似，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P点坐标（﹣2，﹣4），Q点坐标（0，﹣4）；（3）M点的坐标为（﹣，-），（﹣3，-1）

【解析】

（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线x＝1对称，根据PQ的长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；

（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解：（1）当x=0时，y=-4，即C（0，-4）；

当y=0时，-x-4=0，解得，x=-4，即A（-4,0）

将A，C点坐标代入，得

，

解得．

抛物线的表达式为．

（2）∵A（-4,0），

∴AO=4．

∵ PQ=AO，

∴PQ=AO=2．

又∵PQ∥AO，

∴ P、Q关于对称轴x=﹣1对称．

∴P点的横坐标为﹣1﹣1=﹣2，Q点的横坐标为﹣1+1=0．

当x=﹣2时，y=×（﹣2）2+（﹣2）-4=﹣4，

∴P（﹣2，﹣4）；

当x=0，y=×（0）2+0-4=﹣4，

∴Q（0，﹣4）；

P点坐标（﹣2，﹣4），Q点坐标（0，﹣4）．

（3）由，得，

∴B（-2,0）

∵A（-4,0），C（0，-4）

∴OA =OC=4，OB=2．

∴A B=6，,∠ MCO=∠CAB=45o．

①当△MCO∽△CAB时，，

即，解得CM=．

如图，过点M作MN⊥y轴于点N，则．

当时，，

∴M（，）．

②当△OCM∽△CAB时，，

即，解得CM=．

同①可得，．

当时，，

∴M（，）．

综上所述：M点的坐标为（﹣，-），（﹣3，-1）．