Question

20．如图，在四边形ABFC中，∠BAC=∠BFC=∠BCN=90°，E为BC中点，过C作CN⊥BC交AF于N点，连接EN交BF于M点，连接CM交AN于G点，若AB=AF，求证：MG=GC．

Answer 1

分析 如图，过点E作EH⊥AF于H，连接CH，易证A、B、F、C四点共圆，E、H、C、N四点共圆，根据圆周角定理可得∠CAF=∠CBF，∠CHN=∠CEN，从而可得∠AHC=∠BEM，即可得到△AHC∽△BEM，则有$\frac{AC}{BM}$=$\frac{AH}{BE}$．易证点E为过A、B、F、C的圆的圆心，根据垂径定理可得AH=HF=$\frac{1}{2}$AF．即可得到$\frac{AC}{BM}$=$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AF}{BC}$，由此可证到△CAF∽△MBC，则有∠ACF=∠BMC．根据圆内接四边形对角互补可得∠ACF+∠ABF=180°，根据平角的定义可得∠BMC+∠FMC=180°，根据等角的补角相等可得∠ABF=∠FMC．由AB=AF可得∠ABF=∠AFB，从而可得∠FMC=∠AFB，则有GM=GF．由∠MFC=90°可得∠MFG+∠GFC=90°，∠FMC+∠FCM=90°，根据等角的余角相等可得∠GFC=∠FCM，则有GF=GC，即可得到GM=GF=GC．

解答 证明：如图，过点E作EH⊥AF于H，连接CH，
则有∠EHN=90°．
∵∠BAC=∠BFC=∠BCN=90°，
∴∠BAC+∠BFC=180°，∠EHN=∠ECN=90°，
∴A、B、F、C四点共圆，E、H、C、N四点共圆，
∴∠CAF=∠CBF，∠CHN=∠CEN，
∴∠AHC=∠BEM，
∴△AHC∽△BEM，
∴$\frac{AC}{BM}$=$\frac{AH}{BE}$．
∵A、B、F、C四点共圆，∠BAC=90°，
∴BC是该圆的直径．
∵E为BC中点，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC，点E为该圆的圆心．
∵EH⊥AF，
∴根据垂径定理可得AH=HF=$\frac{1}{2}$AF．
∴$\frac{AC}{BM}$=$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AF}{BC}$．
又∵∠CAF=∠MBC，
∴△CAF∽△MBC，
∴∠ACF=∠BMC．
∵A、B、F、C四点共圆，
∴∠ACF+∠ABF=180°．
∵∠BMC+∠FMC=180°，
∴∠ABF=∠FMC．
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴∠FMC=∠AFB，
∴GM=GF．
∵∠MFC=90°，
∴∠MFG+∠GFC=90°，∠FMC+∠FCM=90°，
∴∠GFC=∠FCM，
∴GF=GC，
∴GM=GF=GC．

点评 本题主要考查了四点共圆的判定、圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等角的补角相等、等角的余角相等等知识，有一定的难点．解决本题的关键是通过添加辅助线（作EH⊥AF于H，连接CH），证到△AHC∽△BEM，进而证到△CAF∽△MBC．