Question

【题目】已知二次函数y＝x2﹣6mx+9m2+n（m，n为常数）

（1）若n＝﹣4，这个函数图象与x轴交于A，B两点（点A，B分别在x轴的正、负半轴），与y轴交于点C，试求△ABC面积的最大值；

（2）若n＝4m+4，当x轴上的动点Q到抛物线的顶点P的距离最小值为4时，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）当m＝0时，△ABC的面积最大为8；

（2）Q点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．

【解析】

（1）把n＝﹣4代入得到带有m的解析式解析式y＝x2﹣6mx+9m2﹣4，再用带有m的值表示出A、B、C的坐标，然后得出三角形面积判断最大值；

（2）把n＝4m+4代入原解析式得到y＝（x﹣3m）2+4m+4，得出顶点P的坐标，再根据动点Q到抛物线的顶点P的距离最小时为PQ的横坐标相同，即可得出Q的坐标.

解：（1）若n＝﹣4，则y＝x2﹣6mx+9m2﹣4，

当x＝0时，y＝9m2﹣4，

∴C（0，9m2﹣4），

∵这个函数图象开口向上，与x轴交于A，B两点（点A，B分别在x轴的正、负半轴），与y轴交于点C，

∴9m2﹣4＜0，

当y＝0时，x2﹣6mx+9m2﹣4＝0，

x1＝3m+2，x2＝3m﹣2，

∴A（3m+2，0），B（3m﹣2，0），

∵3m+2﹣（3m﹣2）＝4，

∴AB＝4，

∴S△ABC＝＝×4（﹣9m2+4）＝﹣2m2+8，

∵﹣2＜0，

∴当m＝0时，△ABC的面积最大为8；

（2）若n＝4m+4，则y＝x2﹣6mx+9m2+4m+4＝（x﹣3m）2+4m+4，

∴P（3m，4m+4），

当动点Q到抛物线的顶点P的距离最小值为4时，则Q为（3m，0）且4m+4＝±4，

解得m＝﹣2或m＝0，

∴Q点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．