Question

取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α≤45°），得到△ABC′。

①当α为多少度时，AB∥DC？

②当旋转到图③所示位置时，α为多少度？

③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明。

Answer 1

解：（1）当α＝15°时，AB∥DC。           ……3′

（2）当旋转到图③所示位置时，α＝45° ……6′

         （3）当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC值的大小不变。…8′

证明：连接CC′，在△BDO和△OCC′中，对顶角∠BOD＝∠COC′，

∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4， 

∴∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC＝∠2＋∠α＋∠1＝180°—∠ACD—∠AC′B＝180°—45°—30°＝105°

∴当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC值的大小不变。…14′