Question

【题目】已知,平面直角坐标系中,A(0,4) ,B (b，0) (－4＜b＜0),将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,连接BC．

(1)如图1,直接写出C点的坐标： ；(用b表示)

(2)如图2,取线段BC的中点D,在x轴取一点E使∠DEB＝45°,作CF⊥x轴于点F．

①求证：EF＝OB；

②如图3,连接AE,作DH∥y轴交AE于点H,当OE＝EF时,求线段DH的长度．

图1 图2 图3

Answer 1

【答案】(1) ①(4,b＋4)；(2) ①见解析；②1．

【解析】

（1）作CD⊥y轴，易知△ABO≌△CAD，即可求出C点坐标；

（2）连AD、OD作DP⊥OD交y轴于P，易证△DBO≌△DAP，得出PO＝OE，再根据OA＝OF即可证明EF＝OB；②连结OD、AD，作直线DH交x轴于M，作AN⊥DH于N

DM⊥EF，则EM＝MD＝MF＝1，证得△BDM≌△DAN，求得NH＝HM=2，DH＝HM－DM＝1

（1）作CD⊥y轴，

∵将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,

∴AB=AC，∠BAO+∠DAC=∠BAC=90°，

又∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠DAC，

又∠AOB=∠CDA=90°，

∴△ABO≌△CAD，

∵A(0,4) ,B (b，0) ，

∴AO=4，BO=-b

∴CD=AO=4，DO=AO-AD=AO-BO=4+b,

∴C点坐标为(4,b＋4)；

(2)①连AD、OD作DP⊥OD交y轴于P

∴∠DOA=∠DEB

由（1）得AB=AC，故AD⊥BC，AD=BD

∴∠ADP+∠PDB=90°，

∵∠PDB+∠BDO=90°，

∴∠ADP=∠BDO

∴△DBO≌△DAP

得BO＝AP，∠DPO＝∠DOP＝45°

则PD的延长线过点E

∴PO＝OE

又OA＝OF＝4，则EF＝AP＝BO．

②∵OE＝EF＝OB＝．

连结OD、AD，作直线DH交x轴于M，作AN⊥DH于N

DM⊥EF，则EM＝MD＝MF＝1

又AD=BD，∠BMD=∠DNA

∴△BDM≌△DAN

BM＝DN＝2＋1＝3

∴AN=DM=ME

又∠ANH=∠EMH=90°，∠AHN=∠EHM,

∴△AHN≌△EHM

NH＝HM＝＝2

则DH＝HM－DM＝2－1＝1．