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【题目】已知:ABC,BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,BDAED,CEAEE.

(1)当直线AE处于如图①的位置时,BD=DE+CE,请说明理由;

(2)当直线AE处于如图②的位置时,BDDECE的关系如何?请说明理由;

(3)归纳(1)(2),请用简洁的语言表达BDDECE之间的关系.

【答案】1)见解析 (2)见解析 (3BD=DE-CE

【解析】

此题考查了全等三角形的判定与性质,以及等腰直角三角形的性质,利用了转化及等量代换的思想,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

1)由BD垂直于AE,得到三角形ABD为直角三角形,利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余,再由∠BAC=90°,得到一对角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,AB=AC,利用AAS可得出三角形ABD与三角形ACE全等,由全等三角形的对应边相等得到AD=CEBD=AE,由AE=AD+DE,等量代换即可得证;

2)当直线AE处于如图的位置时,则BDDECE的关系为BD=DE-CE,理由为:同(1)得出三角形ABD与三角形ACE全等,由全等三角形的对应边相等得到AD=CEBD=AE,由AE=DE-AD等量代换即可得证;

3)由(1)(2)总结得到当DE位于直线BC异侧时,BD=DE+CE;当DE位于直线BC同侧时,BD=DE-CE

解:(1)证明:∵BD⊥AECE⊥AE

∴∠BDA=∠AEC=90°∴∠ABD+∠BAD=90°

∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC

△ABD△CAE

∴△ABD≌△CAEAAS

∴AD=CEBD=AE

∵AE=AD+DE

∴BD=DE+CE

2BDDECE的关系为BD=DE-CE,理由为:

证明:在△ABD△CAE

∴△ABD≌△CAEAAS

∴AD=CEBD=AE

∵AE=DE-AD

∴BD=DE-CE

3)当DE位于直线BC异侧时,BD=DE+CE;当DE位于直线BC同侧时,BD=DE-CE

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