Question

10．如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：
①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D=90°；④∠DBF=2∠ABC．
其中正确的结论为①②③．

Answer 1

分析 根据垂直定义得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根据角平分线定义得出∠DBE=$\frac{1}{2}$∠FBE，求出∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABE，∠ACB=∠ECB，根据平行线的性质得出∠ABC=∠ECB，根据平行线的判定得出AC∥BE，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案．

解答 解：∵BC⊥BD，
∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，
∵∠ABE+∠FBE=180°，
∴$\frac{1}{2}$∠ABE+$\frac{1}{2}$∠FBE=90°，
∵BD平分∠EBF，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠FBE，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABE，
∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC，
∴∠ACB=∠ECB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠ECB，
∴∠ACB=∠EBC，
∴AC∥BE，
∵∠DBC=90°，
∴∠BCD+∠D=90°，
∴①②③正确；
∵根据已知条件不能推出∠DBF=2∠ABC，
∴④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．