Question

19．如图，四边形ABCD是长方形，点P是长方形内的任意一点，求证：PA²+PC²=PB²+PD²．

Answer 1

分析 过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F；则四边形ABFE和CDEF为矩形，得出AE=BF，DE=CF，由勾股定理得出PA²，PC²，PB²，PD²，再比较PA²+PC²与PB²+PD²即可．

解答 证明：过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，如图所示：
则四边形ABFE和CDEF为矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

点评 本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理的运用；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．