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【题目】如图,抛物线与直线交于AB两点A在点B的左侧,动点PA点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为  

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

首先根据题意求得点AB的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得A′B′即是所求的长度.

如图

∵抛物线y=x2-x-与直线y=x-2交于A、B两点,

x2-x-=x-2,

解得:x=1x=

x=1时,y=x-2=-1,

x=时,y=x-2=-

∴点A的坐标为(,-),点B的坐标为(1,-1),

∵抛物线对称轴方程为:x=-=

作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,

连接A′B′,

则直线A′B′与对称轴(直线x=)的交点是E,与x轴的交点是F,

BF=B′F,AE=A′E,

∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′,

延长BB′,AA′相交于C,

A′C=++(1-)=1,B′C=1+=

A′B′=

∴点P运动的总路径的长为

故选A.

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