Question

14．已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45°．
（Ⅰ）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．

Answer 1

分析 （1）连接OD，则∠AOD为直角，由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°，即可证出答案．
（2）作EF⊥AB于F，连接BE，根据圆周角定理得∠AEB=90°，然后根据勾股定理求得BE，然后根据sin∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{AE}$求得EF即可．

解答 解：（1）CD与圆O相切．
证明：如图①，连接OD，则∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD与圆O相切．

（2）如图②，作EF⊥AB于F，连接BE，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
∵AE=5，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∵sin∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{AE}$．
∴$\frac{\sqrt{11}}{6}$=$\frac{EF}{5}$
∴EF=$\frac{5\sqrt{11}}{6}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质、平行四边形的性质以及圆周角定理，注意辅助线的作法是解此题的关键．