Question

12．已知实数a，b，c均不为零，且满足a+b+c=0，则$\frac{1}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$的值是（　　）

• A． 为正
• B． 为负
• C． 为0
• D． 与a，b，c的取值有关

Answer 1

分析 根据a+b+c=0，可得b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，从而可以将$\frac{1}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$化简求值，从而解答本题．

解答 解：∵a+b+c=0，
∴b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，
∴$\frac{1}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$
=$\frac{1}{（b+c）^{2}-2bc-{a}^{2}}+\frac{1}{（c+a）^{2}-2ac-{b}^{2}}$+$\frac{1}{（a+b）^{2}-2ab-{c}^{2}}$
=$\frac{1}{{a}^{2}-2bc-{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}-2ac-{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}-2ab-{c}^{2}}$
=$\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}+\frac{1}{-2ab}$
=$-\frac{1}{2}×（\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}）$
=$-\frac{1}{2}×\frac{a+b+c}{abc}$
=0．
故选C．

点评 本题考查分式的化简求值，解题的关键是可以运用题目中的式子灵活变化求出所求式子的值．