Question

20．如图，正方形ABCD的面积为10，点E为边BC上一动点（点E不与B、C重合），联结AE，以CE为边长作小正方形CEFG，点G在边CD上．设BE=x．
（1）当△ABE的面积是$\sqrt{5}$时，求正方形CEFG的边长；
（2）如果正方形CEFG的面积与△ABE的面积相等，求BE的长；
（3）联结AF、DF，当△ADF是等腰三角形时，请你直接写出x的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的面积为10可知AB=$\sqrt{10}$，由三角形的面积公式可知$\frac{1}{2}AB•BE=\sqrt{5}$，从而可求得BE的长，故此可求得EC的长；
（2）设BE=x，则EC=$\sqrt{10}$-x．根据正方形CEFG的面积与△ABE的面积相等列方程求解即可；
（3）分为AD=DF、AF=FD、AF=AD三种情况画出图形，然后依据正方形的性质、勾股定理进行解答即可．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的面积为10，
∴AB=EC=$\sqrt{10}$．
∵△ABE的面积是$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}AB•BE=\sqrt{5}$，即$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×BE=\sqrt{5}$．
解得：BE=$\sqrt{2}$．
∴CE=BC-BE=$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$．
∴正方形CEFG的边长为$\sqrt{10}-\sqrt{2}$．
（2）设BE=x，则EC=$\sqrt{10}$-x．
∵正方形CEFG的面积与△ABE的面积相等，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×x$=（$\sqrt{10}-x$）²．
解得：x₁=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，x₂=2$\sqrt{10}$（舍去）．
（3）如图1所示；AD=DF时．

由（1）可知：AB=DC=$\sqrt{10}$．
∵四边形CEFG为正方形，
∴EC=GC．
∴BE=DG=x．
在Rt△FGD中，由勾股定理得：FG²+DG²=DF²，即$（\sqrt{10}-x）^{2}+{x}^{2}=10$．
解得：x₁=0，x₂=2$\sqrt{10}$．
∵0＜BE＜$\sqrt{10}$，
∴x₁=0，x₂=2$\sqrt{10}$不符合题意，舍去．
如图2所示：当AF=FD时．

∵AF=DF，
∴F在AD的垂直平分线上．
∴BE=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
如图3所示：当AF=AD时．延长GF交AB与H．

∵四边形ABCD和四边形EFGC为正方形，
∴BE=AH=FH=x．
∴BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{10}$=$\sqrt{5}$．
综上所述，当x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$时或x=$\sqrt{5}$△ADF是等腰三角形．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、三角形的面积公式、勾股定理、线段垂直平分线的性质和判定、特殊锐角三角函数，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．