Question

17．已知△ABC中，∠CAB=60°，P为△ABC内一点且∠APB=∠APC=120°，求证：AP²=BP•CP．

Answer 1

分析 根据三角形的内角和得到∠CAP+∠ACP=60°，求得∠ACP=60°-∠CAP，由∠BAP=60°-∠CAP，得到∠BAP=∠ACP，证得△ABP∽△ACP，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵∠APB=∠APC=120°，
∴∠CAP+∠ACP=60°，
∴∠ACP=60°-∠CAP，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAP=60°-∠CAP，
∴∠BAP=∠ACP，
∴△ABP∽△ACP，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{PC}{AP}$，
∴AP²=BP•CP．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内角和，熟练正确相似三角形的判定定理是解题的关键．