Question

11．如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，BE=$\frac{1}{3}$BC，F是DC的中点，连接AE，EF．
求证：∠AEF=∠DAE．

Answer 1

分析 延长EF交AD的延长线于G，由△DFG≌△CFE得DG=CE，FG=EF，设正方形边长为6k，则DG=CE=4k，DF=CF=3k，AD=6k，求出AG，EG，即可解决问题．

解答 证明：延长EF交AD的延长线于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠C=90°=∠FDG，
∵F是DC中点，
∴DF=FC，
在△DFG和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDG=∠C}\\{DF=CF}\\{∠DFG=∠CFE}\end{array}\right.$，
∴△DFG≌△CFE，
∴DG=CE，FG=EF，
设正方形边长为6k，则DG=CE=4k，DF=CF=3k，AD=6k，
在RT△DFG中，FG=$\sqrt{D{G}^{2}+D{F}^{2}}$=5k，
∴EF=FG=5k，
∴AG=AD+DG=10k，EG=EF+FG=10k，
∴∠AEF=∠DAE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数k，表示出相应的线段解决问题，属于中考常考题型．