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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(04)B(34)P 为线段 OA 上一动点,过 OPB 三点的圆交 x 轴正半轴于点 C,连结 AB, PCBC,设 OP=m.

(1)求证:当 P A 重合时,四边形 POCB 是矩形.

(2)连结 PB,求 tanBPC 的值.

(3)记该圆的圆心为 M,连结 OMBM,当四边形 POMB 中有一组对边平行时,求所有满足条件的 m 的值.

(4)作点 O 关于 PC 的对称点O ,在点 P 的整个运动过程中,当点O 落在APB 的内部 (含边界)时,请写出 m 的取值范围.

【答案】1)见解析;(2tan∠BPC=;(3m= m=;(40≤m m=

【解析】

1)由∠COA=90°可知PC为直径,所以∠PBC=90°,PA重合时得3个直角,即证四边形POCB为矩形.

2)题干已知的边长只有OAAB,所以要把∠BPC转化到与OAOB有关的三角形内.连接OB,根据圆周角定理,得∠COB=BPC,又ABOC有∠ABP=COB,得∠BPC=ABO

3)分两种情况:①OPBMBMx轴,延长BMx轴于N,根据垂径定理得ON=CN=3,设半径为r,利用RtCMN的三边关系列方程即可求出;②OMPB,根据圆周角定理和等腰三角形性质得到△BOM≌△COM,所以BO=CO=5,用m表示各条线段,再利用勾股定理列方程求得m的值.

4)因为点O与点O'关于直线对称,所以∠PO'C=POC=90°,即点O'在圆上;考虑点P运动到特殊位置:①点O'与点O重合;②点O'落在AB上;③点O'与点B重合.算出对应的m值再考虑范围.

1)∵∠COA=90°,∴PC是直径,∴∠PBC=90°.

A04B34),∴ABy轴,∴当AP重合时,∠OPB=90°,∴四边形POCB是矩形;

2)连结OB,(如图1

∴∠BPC=BOC

ABOC,∴∠ABO=BOC,∴∠BPC=BOC=ABO,∴tanBPC=tanABO

3)∵PC为直径,∴MPC中点.

①如图2,当OPBM时,延长BMx轴于点N

OPBM,∴BNOCN,∴ON=NC,四边形OABN是矩形,∴NC=ON=AB=3BN=OA=4

设⊙M半径为r,则BM=CM=PM=r,∴MN=BNBM=4r

MN2+NC2=CM2,∴(4r2+32=r2

解得:r,∴MN=4

MN分别为PCOC中点,∴m=OP=2MN

②如图3,当OMPB时,∠BOM=PBO

∵∠PBO=PCO,∠PCO=MOC,∴∠OBM=BOM=MOC=MCO

在△BOM与△COM中,∵∠BOM=COM,∠OBM=OCMBM=CM,∴△BOM≌△COMAAS),∴OC=OB5

AP=4m,∴BP2=AP2+AB2=4m2+32

∵∠ABO=BOC=BPC,∠BAO=PBC=90°,∴△ABO∽△BPC,∴,∴PC,∴PC2BP2[4m2+32]

PC2=OP2+OC2=m2+52,∴[4m2+32]=m2+52

解得:mm=10(舍去).

综上所述:mm

4)∵点O与点O'关于直线对称,∴∠PO'C=POC=90°,即点O'在圆上.

O'O重合时,得:m=0

O'落在AB上时,得:m

O'与点B重合时,得:m

0mm

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