【题目】二次函数y = ax2 ax + c图象的顶点为C,一次函数y = x + 3的图象与这个二次函数的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧),与它的对称轴交于点D.
(1)求点D的坐标;
(2) ①若点C与点D关于x轴对称,且△BCD的面积等于4,求此二次函数的关系式;
②若CD=DB,且△BCD的面积等于4,求a的值.
【答案】(1)点D的坐标为(1,2);(2)①;②或
【解析】
(1)函数的对称轴为:,当x=1时,y=-x+3=2,故点D(1,2);
(2)①△BCD的面积=,求出B点坐标为(3,0),把B点坐标代入即可求解;②设B(m,-m+3)(m>1),过点B作BE⊥CD于E,则BE=m﹣1,根据S△BCD=4, 得B(2+1,-2+2),分两种情况:当a>0时,则点C在点D下方,当a<0时,则点C在点D上方,分别求解即可.
(1)∵二次函数的对称轴为直线x=1,
∴把x=1代入,得y=2,∴点D的坐标为(1,2).
(2)∵点C与点D关于x轴对称,
∴点C的坐标为(1,-2),
∴CD=4.
①设点B横坐标为x,则,解得x=3.
∵B点在函数y=-x+3的图像上,
∴B点坐标为(3,0).
∵二次函数的顶点为C(1,-2),
∴它的函数关系式可设为,把B点坐标代入,得a=1,
∴此二次函数的关系式为.
②设B(m,-m+3)(m>1),由y=-x+3可知y=-x+3图像与DC相交成45°,过点B作BE⊥CD于E,则BE=m﹣1,DB=DC=BE,
由S△BCD=4, 得×(m﹣1)2=4,
m =2+1,m =-2+1(舍去),
DC=4,B(2+1,-2+2),
当a>0时,则点C在点D下方,则点C的坐标为(1,-2),
B点代入得a=,
当a<0时,则点C在点D上方,则点C的坐标为(1,6),
B点代入得a= ,
综上所述a的值为:或 .
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【题目】已知抛物线经过点,且抛物线上任意不同两点都满足:当时,;当时,;抛物线与轴另一个交点为,与轴交于点,对称轴与轴交于点.
(1)求抛物线的对称轴及点的坐标;
(2)过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点,当四边形是正方形时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,垂直于轴的直线与抛物线交于点和,与直线交于点,若,结合函数的图象,直接写出的取值范围.
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【题目】综合与探究:
如图1,的直角顶点在坐标原点,点在轴正半轴上,点在轴正半轴上,,,将线段绕点顺时针旋转得到线段,过点作轴于点,抛物线经过点,与轴交于点,直线与轴交于点.
(1)求点的坐标及抛物线的表达式;
(2)如图2,已知点是线段上的一个动点,过点作的垂线交抛物线于点(点在第一象限),设点的横坐标为.
①点的纵坐标用含的代数式表示为________;
②如图3,当直线经过点时,求点的坐标,判断四边形的形状并证明结论;
③在②的前提下,连接,点是坐标平面内的点,若以,,为顶点的三角形与全等,请直接写出点的坐标.
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【题目】为了增强学生对新冠病毒预防知识的了解,我校初一年级开展了网上预防知识的宣传教育活动.为了解这次宣传教育活动的效果,学校从初一年级1500名学生中随机抽取部分学生进行网上知识测试(测试满分100分,得分均为整数),并根据抽取的学生测试成绩,制作了如下统计图表:
抽取学生知识测试成绩的频数表 | ||
成绩(分) | 频数(人) | 频率 |
10 | 0.1 | |
15 | ||
0.2 | ||
40 | ||
由图表中给出的信息回答下列问题:
(1) , ,并补全频数直方图;
(2)如果80分以上(包括80分)为优秀,请估计初一年级1500名学生中成绩优秀的人数;
(3)小强在这次测试中成绩为85分,你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗?请简要说明理由.
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【题目】2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案,其中语文、数学、外语三门为统考科目( 必考), 物理和历史两个科目中任选 1门,另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门,共计6门科目,总分750 分, 假设小丽在选择科目时不考虑主观性.
(1)小丽选到物理的概率为 ;
(2)请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、 地理、 化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(3,4),P 为线段 OA 上一动点,过 O,P,B 三点的圆交 x 轴正半轴于点 C,连结 AB, PC,BC,设 OP=m.
(1)求证:当 P 与 A 重合时,四边形 POCB 是矩形.
(2)连结 PB,求 tan∠BPC 的值.
(3)记该圆的圆心为 M,连结 OM,BM,当四边形 POMB 中有一组对边平行时,求所有满足条件的 m 的值.
(4)作点 O 关于 PC 的对称点O ,在点 P 的整个运动过程中,当点O 落在△APB 的内部 (含边界)时,请写出 m 的取值范围.
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【题目】已知, , 与成正比例, 与成反比例,并且当时, ,当时, .
()求关于的函数关系式.
()当时,求的值.
【答案】();(), .
【解析】分析:(1)首先根据与x成正比例, 与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5,求出 和与x的关系式,进而求出y与x的关系式,(2)根据(1)问求出的y与x之间的关系式,令y=0,即可求出x的值.
本题解析:
()设, ,
则,
∵当时, ,当时, ,
∴
解得, ,
∴关于的函数关系式为.
()把代入得,
,
解得: , .
点睛:本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式:(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx(k为常数,k≠0);(2)把已知条件(自变量与对应值)代入解析式,得到待定系数的方程;(3)解方程,求出待定系数;(4)写出解析式.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,菱形的对角线、相交于点,过点作且,连接、,连接交于点.
(1)求证:;
(2)若菱形的边长为2, .求的长.
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【题目】农夫将苹果树种在正方形的果园内,为了保护苹果树不受风吹,他在苹果树的周围种上针叶树.在下图里,你可以看到农夫所种植苹果树的列数(n)和苹果树数量及针叶树数量的规律:当n为某一个数值时,苹果树数量会等于针叶树数量,则n为___________
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【题目】如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于C,D两点,与x,y轴交于B,A两点,且tan∠ABO=,OB=4,OE=2.
(1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式;
(2)求△OCD的面积;
(3)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时,自变量x的取值范围.
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