Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线交抛物线于点，并且，，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点为抛物线上一动点，且在第二象限，顺次连接点、、、，求四边形面积的最大值；

（3）在（2）中四边形面积最大的条件下，过点作直线平行于轴，在这条直线上是否存在一个以点为圆心，为半径且与直线相切的圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，四边形取得最大值，最大值为9；（3）存在，点Q 为或.

【解析】

（1）过点D作DE⊥x轴，垂足为E，由点D的坐标结合tan∠DBA=，可求出点B的坐标，根据点B，D的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）过点M作MF⊥x轴，垂足为F，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A，C的坐标，设点M的坐标为（m，）（-4＜m＜0），则点F的坐标为（m，0），由S四边形BMCA=S△BMF+S梯形FMCO+S△OCA可得出S四边形BMCA关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出四边形BMCA面积的最大值；

（3）连接BC，易证△BOC∽△COA，进而可得出BC⊥AC，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC，AC的解析式，设点Q的坐标为（-2，n），由平行线的性质可得出过点Q且垂直AC的直线的解析式为y=x+n+1，联立该直线与AC的解析式成方程组，通过解方程组可求出交点的坐标，再由该点到点Q的距离等于线段OQ的长度可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出结论．

解：（1）过点作轴，垂足为，如图1所示，

∵点的坐标为

∴，.

∵，

∴，

∴，

∴点的坐标为.

将，代入，得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为.

（2）过点作轴，垂足为，如图2所示，

当时，，解得：，，

∴点的坐标为；

当时，，

∴点的坐标为（0，2）.

设点的坐标为，则点的坐标为，

∴，，，，，

∴四边形梯形，

，

，

.

∵，

∴当时，四边形取得最大值，最大值为9.

（3）连接，如图3所示，

∵，，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴.

∵点的坐标为，点的坐标为（0，2），点的坐标为（1，0），

∴直线的解析式为，直线的解析式为（可利用待定系数法求出）.

设点的坐标为，则过点且垂直的直线的解析式为：.

联立两直线解析式成方程组，得：

，解得：，

∴两直线的交点坐标为.

依题意，得：

整理，得，解得：，，

∴点的坐标为或.

综上所述：在这条直线上存在一个以点为圆心，为半径且与直线相切的圆，点的坐标为或.