Question

【题目】如图，已知直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线y＝x2+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若点P是x轴上方抛物线上一点，连接OP．

①若OP与线段BC交于点D，则当D为OP中点时，求出点P坐标．

②在抛物线上是否存在点P，使得∠POC＝∠ACO若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①点P坐标为（2，3）；②存在点P（，﹣1）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO

【解析】

（1）与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2），由题意可得即可求解；

（2）①过点P作PE∥OC，交BC于点E．根据题意得出△OCD≌△PED，从而得出PE＝OC＝2，再根据 即可求解；

②当点P在y轴右侧，PO∥AC时，∠POC=∠ACO．抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，则点A坐标为（-1，0）．则直线AC的解析式为y=2x+2．直线OP的解析式为y=2x，即可求解；当点P在y轴右侧，设OP与直线AC交于点G，当CG=OG时，∠POC=∠ACO，根据等腰三角形三线合一，则CF=OF=1，可得：点G坐标为即可求解．

（1）∵y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，2）．

由题意可得，解得：，

∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；

（2）①如图，过点P作PE∥OC，交BC于点E．

∵点D为OP的中点，

∴△OCD≌△PED（AAS），

∴PE＝OC＝2，

设点P坐标为（m，﹣m2+m+2），点E坐标为（m，﹣m+2），

则PE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝2，

解得m1＝m2＝2．

∴点P坐标为（2，3）；

②存在点P，使得∠POC＝∠ACO．

理由：分两种情况讨论．

如上图，当点P在y轴右侧，

PO∥AC时，∠POC＝∠ACO．

∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，

∴点A坐标为（﹣1，0）．

∴直线AC的解析式为y＝2x+2．

∴直线OP的解析式为y＝2x，

解方程组，解得：x＝（舍去负值）

∴点P坐标为（，﹣1）．

如图，当点P在y轴右侧，

设OP与直线AC交于点G，当CG＝OG时∠POC＝∠ACO，

过点G作GF⊥OC，垂足为F．

根据等腰三角形三线合一，则CF＝OF＝1．

∴可得点G坐标为（﹣，1）

∴直线OG的解析式为y＝﹣2x；

把y＝﹣2x代入抛物线表达式并解得x＝（不合题意值已舍去）．

∴点P坐标为（，﹣7）．

综上所述，存在点P（，﹣1）或（，﹣7）使得∠POC＝∠ACO．