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【题目】两个三角板ABCDEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内),其中,∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).

(1)当点C落在边EF上时,x=_____cm

(2)若两个三角板重叠部分的图形为四边形时,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;

(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N,直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值.

【答案】(1)15;(2)①y=;(3)

【解析】试题分析:(1)根据锐角三角函数,可得BG的长,根据线段的和差,可得GE的长,根据矩形的性质,可得答案;(2)分类讨论:①当0≤t<6时,根据三角形的面积公式,可得答案;②当6≤t<12时,③当12<t≤15时,根据面积的和差,可得答案;(3)根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短,可得M在线段NG上,根据三角形的中位线,可得NG的长,根据锐角三角函数,可得MG的长,根据线段的和差,可得答案;

试题解析:

1)如图1所示:作CGABG点.,

RtABC中,由AC=6ABC=30,得

BC==6

RtBCG中,BG=BCcos30°=9

四边形CGEH是矩形,

CH=GE=BG+BE=9+6=15cm

20≤x6时,如图2所示.

GDB=60°GBD=30°DB=x,得

DG=xBG=x,重叠部分的面积为y=DGBG=×x=x2

6≤x12时,如图3所示

BD=xDG=xBG=xBE=x﹣6EH=x﹣6).

重叠部分的面积为y=SBDG﹣SBEH=DGBG﹣BEEH

y=×x﹣x﹣6x﹣6

化简,得y=﹣x2+2x﹣6

12x≤15时,如图4所示

AC=6BC=6BD=xBE=x﹣6),EG=x﹣6),

重叠部分的面积为y=SABC﹣SBEG=ACBC﹣BEEG

y=×6×6x﹣6x﹣6),

化简,得y=18x2﹣12x+36=﹣x2+2x+12

综上所述:y=

3)如图5所示作NGDEG点.,

MNG上时MN最短,

NGDEF的中位线,

NG=EF=

MB=CB=3B=30°

MG=MB=

MN最小=3=

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