Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1．有位学生写出了以下五个结论：
（1）ac＞0；  （2）方程ax²+bx+c=0的两根是x₁=-1，x₂=3；
（3）2a-b=0；（4）当x＞1时，y随x的增大而减小；（5）3a+2b+c＞0
则以上结论中不正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：由函数图象可得抛物线开口向下，得到a小于0，又抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c大于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，（1）错误；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x＞1时，y随x的增大而减小，（4）正确；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，（3）错误；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（-1，0），进而得到方程ax²+bx+c=0的两根分别为-1和3，（2）正确；由于x=3时对应的函数图象在x轴上，得到9a+3b+c=0，然后把b=-2a代入即可得到3a+c=0，由a＜0，则b＞0，得出3a+2b+c＞0，（5）正确．

解答：解：由二次函数y=ax²+bx+c的图象可得：抛物线开口向下，即a＜0，
抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，即c＞0，
ac＜0，（1）错误；
由函数图象可得：
当x＞1时，y随x的增大而减小，故（4）正确；
∵对称轴为直线x=1，
∴-

b

2a

=1，即2a+b=0，（3）错误；
由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，
抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
则方程ax²+bx+c=0的两根是x₁=-1，x₂=3，（2）正确．
由于x=3时对应的函数图象在x轴上，
9a+3b+c=0，
把b=-2a代入即可得到3a+c=0，
由a＜0，则b＞0，
得出3a+2b+c＞0，（5）正确．
综上所知错误的有（1）（3）两个．
故选：B．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．