Question

18．已知：如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是线段AC的中点，连接BD并延长至点E，使BE=2BD．连接AE，CE．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2所示，将三角板顶点M放在AE边上，两条直角边分别过点B和点C，若∠MEC=∠EMC，BM交AC于点N．
①求证：△ABN≌△MCN；
②当点M恰为AE中点时sin∠ABM=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先证BD=DE，再加上AD=DC的条件可直接得出结论；
（2）①先CM=CE=BA，然后由“角角边”定理直接得出结论；
②由M是AE中点，得出CM=EM=AM，再结合CE=CM，可证得△CEM是等边三角形，从而∠CMA=∠ABM=30°．

解答 解：（1）∵点D是线段AC的中点，BE=2BD，
∴AD=CD，DE=BD，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（1）①∵四边形ABCE是平行四边形，
∴CE=AB，
∵∠MEC=∠EMC，
∴CM=AB，
在△ABN和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CM}\\{∠BAN=∠CMN}\\{∠ANB=∠MNC}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△MCN（AAS）；
②∵∠ACE=∠CAB=90°，M为AE中点，
∴CM=EM=AM，
∵CE=CM，
∴CE=CM=EM，
∴△CEM是等边三角形，
∴∠CME=2∠MCA=60°，
∴∠MCA=30°，
∵△ABN≌△MCN，
∴∠ABM=∠MCA=30°，
∴sin∠ABM=$\frac{1}{2}$．

点评 本题为四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数等知识点，难度不大，属中档题．