Question

20．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）经过斜边OA上的点C，且OC：AC=1：2，与另一直角边交于点D，若S_△OCD=12，则k=-9．

Answer 1

分析 作CE⊥OB于E，如图，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S_△OCE=S_△BOD=$\frac{1}{2}$k，再根据三角形面积公式得到S_△ACD=12，且OC=$\frac{1}{3}$OA，则S_△OAB=36+$\frac{1}{2}$k，然后证明△OCE∽△OAB，利用相似三角形的性质即可得到k的值．

解答 解：作CE⊥OB于E，如图，
∵点C、D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上，
∴S_△OCE=S_△BOD=$\frac{1}{2}$k，
∵OC：AC=1：2，S_△OCD=12，
∴S_△ACD=24，OC=$\frac{1}{3}$OA，
∴S_△OAB=36+$\frac{1}{2}$|k|，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAQB，
∴$\frac{{S}_{△OCE}}{{S}_{△OAB}}$=（$\frac{OC}{OA}$）²，即$\frac{\frac{1}{2}•|k|}{36+\frac{1}{2}|k|}$=$\frac{1}{9}$，
∴k=±9．
∵k＜0，
∴k=-9．
故答案为-9．

点评 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．