【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B),动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.
(1)求A、B两点的坐标。
(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并直接写出此时点Q的坐标.
(3)当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(0,3), B(4,0)(2)t=,Q();t=,Q()(3)存在。M1(), M2(),M3()
【解析】
解:(1)由x2-7 x +12=0解得x1=3,x2=4。
∵OA<OB ,∴OA="3" , OB=4。∴A(0,3), B(4,0)。
(2)由OA="3" , OB=4,根据勾股定理,得AB=5。
由题意得,AP=t, AQ=5-2t 。分两种情况讨论:
①当∠APQ=∠AOB时,如图1,
△APQ∽△AOB。∴,即解得 t=。∴Q()。
②当∠AQP=∠AOB时,如图2,
△APQ∽△ABO。∴,即解得 t=。∴Q()。
(3)存在。M1(), M2(),M3()。
(1)解出一元二次方程,结合OA<OB即可求出A、B两点的坐标。
(2)分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB两种情况讨论即可。
(3)当t=2时,如图,
OP=2,BQ=4,∴P(01),Q()。
若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形,则
①当AQ为对角线时,点M1的横坐标与点Q的横坐标相同,纵坐标为。∴M1()。
②当PQ为对角线时,点M2的横坐标与点Q的横坐标相同,纵坐标为。∴M2()。
③当AP为对角线时,点Q、M3关于AP的中点对称。
由A(0,3),P(0,1)得AP的中点坐标为(0,2)。
由Q()得M3的横坐标为,纵坐标为。∴M3()。
综上所述,若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形,则M点的坐标为
()或()或()。
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【题目】阅读材料: 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:,善于思考的小明进行了以下探索:
设(其中均为整数),则有.
∴.这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
当均为正整数时,若,用含m、n的式子分别表示,得= ,= ;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数,填空: + =( + )2;
(3)若,且均为正整数,求的值.
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【题目】列方程或方程组解应用题:
为响应市政府“绿色出行”的号召,小张上班由自驾车改为骑公共自行车.已知小张家距上班地点10千米.他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米,他从家出发到上班地点,骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍.小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米?
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【题目】矩形ABCD与CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=________.
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【题目】甲、乙两车同时从地出发前往地,其中甲车选择有高架的路线,全程共,乙车选择没有高架的路线,全程共.甲车行驶的平均速度比乙车行驶的平均速度每小时快千米,乙车到达地花费的时间是甲车的倍.问甲、乙两车行驶的平均速度分别是多少?
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=16cm,BC=12cm,D为AB的中点.若点P在线段BC上以4cm/s的速度由B向C运动,同时,点Q在线段CA上以a(cm/s)的速度由C向A运动,设运动的时间为t(s)(0≤t≤3)
(1)用关于t的代数式表示PC的长度.
(2)若点P,Q的运动速度相等,经过1s后,△BPD与△CQP是否全等?请说明理由.
(3)若点PQ的运动速度不相等,当点Q的运动速度a为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
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【题目】旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.
(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入﹣管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?
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【题目】某建筑公司甲、乙两个工程队共同参与一项改造工程.已知甲队单独完成这项工程的时间是乙队单独完成这项工程时间的1.5倍,由于乙队还有其他任务,先由甲队单独做45天后,再由甲、乙两队合做30天,完成了该项改造工程任务.
(1)求甲、乙两队单独完成改造工程任务各需多少天;
(2)这项改造工程共投资240万元,如果按完成的工程量付款,那么甲、乙两队可获工程款各多少万元?
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