Question

17．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与AC交于D点，过点D作DF⊥BC交AB的延长线于点E，垂足为F，∠FDB=∠A．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由？
（2）若⊙O半径R=5，tanA=$\frac{3}{4}$，求AC长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；
（2）根据tanA=$\frac{3}{4}$，设DB=3x，则AD=4x，AB=5x=10，求得x=2，从而求得AD=8，DB=6，通过证得OD∥BC，得出∠ADO=∠ACD，从而证得△AOD∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{8}{AC}$，即可求得AC的长．

解答 解：（1）DE与⊙O相切；
理由：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠FDB=∠A，
∴∠ODA=∠FDB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDO+∠ODA=90°，
∴∠BDO+∠FDB=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

（2）∵⊙O的半径R=5，
∴AB=10，
∵tanA=$\frac{3}{4}$，设DB=3x，则AD=4x，AB=5x，
∴5x=10，
∴x=2，
∴AD=8，DB=6，
∵∠ODE=∠BFE=90°，
∴OD∥BC，
∴∠ADO=∠ACD，
又∵∠A=∠A，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{5}{10}$=$\frac{8}{AC}$，
∴AC=16．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，连接OD，证得OD⊥DE是本题的关键．