Question

17．已知在矩形ABCD中，点E为边AD上一点，点A关于BE的对称点G位于对角线BD上，EG的延长线交边BC于点F．
（1）求证：AE≠ED；
（2）求证：△BEF是等腰三角形；
（3）若△BEF是正三角形，且AB=1，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由轴对称的性质得出AE=EG，在Rt△EGD中，ED＞EG，ED＞AE，即可得出结论；
（2）由（1）知∠AEB=∠BEG，再由 AD∥BC，得出∠AEB=∠EBF，证出∠BEG=∠EBF，即可得出结论；
（3）由△BEF是正三角形，得出∠AEB=60°，证出BG=GD，由BD=2，设EF=2x，则 BG=$\sqrt{3}$x．得出 2$\sqrt{3}$x=2，得出2x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即可得出EF．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵点A与点G关于BE对称，
∴BE垂直平分AG，∠BAD=∠BGE=90°，
∴AE=EG．
在Rt△EGD中，ED＞EG，
∴ED＞AE，
即AE≠ED；
（2）证明：由（1）知∠AEB=∠BEG，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠BEG=∠EBF，
∴△BEF是等腰三角形；
（3）解：∵△BEF是正三角形，
则∠AEB=60°，BD=2AB=2，
∵∠ABE=∠EBG=30°，
∴∠DBC=30°，
∴BG⊥EF，EG=GF，
∴BG=GD，
又∵BD=2，
设EF=2x，则 BG=$\sqrt{3}$x．
∴2$\sqrt{3}$x=2，
∴2x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即EF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、轴对称的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．