Question

【题目】定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．
（1）求min{x2﹣1，﹣2}；
（2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；
（3）已知当﹣2≤x≤3时，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x2≥0，

∴x2﹣1≥﹣1，

∴x2﹣1＞﹣2．

∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2，

（2）解：∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1，

∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．

∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，

∴k﹣1≥﹣3．

∴k≥﹣2，

（3）解：对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，y=﹣7，

当x=3时，y=﹣12，

由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12），

所以m的范围是：﹣3≤m≤7．

【解析】（1）根据平方的非负性得出x2≥0，然后根据不等式的性质1得出x2﹣1≥﹣1，从而判断出x2﹣1＞﹣2，根据新定义得出结论；
（2）将代数式x2﹣2x+k配方变形成（x﹣1）2+k﹣1，根据平方的非负性得出（x﹣1）20，进而得出（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1，再根据min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，从而得出不等式k﹣1≥﹣3，解不等式即可；
（3）把两个界点x=-2与x=3分别代入函数y=x2﹣2x﹣15得出对应的函数值，从而知当﹣2≤x≤3时，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15时，抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12），从而得出m的取值范围。

【考点精析】本题主要考查了一次函数的性质和一元一次不等式的解法的相关知识点，需要掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小；步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项； ⑤系数化为1（特别要注意不等号方向改变的问题）才能正确解答此题．