Question

【题目】在平面直角坐标系中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．

（1）如图1，如果⊙O的半径为2，

①判断M（2，0），N（﹣2，1）两个点的变换点M′、N′与⊙O的位置关系；

②若点P在直线y=x-2上，点P的变换点P′不在⊙O外，结合图形求点P横坐标x的取值范围．

（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+5上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①M’点在圆O上，点N’不在圆O上.；②；（2）.

【解析】

（1）①根据新定义得到点M的变换点M′的坐标为（2，2），于是根据勾股定理计算出OM′=2，则根据点与圆的位置关系的判定方法可判断点M的变换点在⊙O上；同样方法可判断点N（-1，-3）的变换点在⊙O外；②利用一次函数图象上点的坐标特征，设P点坐标为（x，x-2），利用新定义得到P点的变换点为P′的坐标为（2x-2， 2），则根据勾股定理计算出OP′=，然后利用点与圆的位置关系得到≤2，解不等式得；

（2）设点P′的坐标为（x，-2x+5），P（m，n），根据新定义得到m+n=x，m-n=-2x+5，消去x得3m+n=5，则n=-3m+5，于是得到P点坐标为（m，-3m+5），则可判断点P在直线y=-3x+5上，设直线y=-3x+5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图2，易得A（，0），B（0，5），利用勾股定理计算出AB=，再利用面积法计算出OH=，所以CH=-1，当点P在H点时，PC为点P与⊙O上任意一点距离的最小值．

（1）①M（2，0）的变换点M′的坐标为（2，2），则OM′==2，所以点M（2，0）的变换点在⊙O上；

N（-2，1）的变换点N′的坐标为（-1，-3），则ON′==＞2，所以点N（-2，-1）的变换点在⊙O外；

②设P点坐标为（x，x-2），则P点的变换点为P′的坐标为（2x-2，2），则OP′=，

∵点P′不在⊙O外，

∴≤2，

∴（2x-2）2≤4，即（x-1）2≤1，

∴-1≤x-1≤1，解得0≤x≤2，

即点P横坐标的取值范围为0≤x≤2；

（2）设点P′的坐标为（x，-2x+5），P（m，n），

根据题意得m+n=x，m-n=-2x+5，

∴3m+n=5，

即n=-3m+5，

∴P点坐标为（m，-3m+5），

∴点P在直线y=-3x+5上，

设直线y=-3x+5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图，

则A（，0），B（0，5），

∴AB==，

∵OHAB=OAOB，

∴OH==，

∴CH=-1，

即点P与⊙O上任意一点距离的最小值为-1．