Question

已知：关于x的方程x²-（2m+1）x+2m=0
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若方程的两根为x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|，求m的值．

Answer 1

解：（1）关于x的方程x²-（2m+1）x+2m=0，
∴△=（2m+1）²-8m=（2m-1）²≥0恒成立，
故方程一定有两个实数根；

（2）①当x₁≥0，x₂≥0时，即x₁=x₂，
∴△=（2m-1）²=0，
解得m=；
②当x₁≥0，x₂≤0时或x₁≤0，x₂≥0时，即x₁+x₂=0，
∴x₁+x₂=2m+1=0，
解得：m=-；
③当x₁≤0，x₂≤0时，即-x₁=-x₂，
∴△=（2m-1）²=0，
解得m=；
综上所述：当x₁≥0，x₂≥0或当x₁≤0，x₂≤0时，m=；当x₁≥0，x₂≤0时或x₁≤0，x₂≥0时，m=-．
分析：（1）根据判别式△≥0恒成立即可判断方程一定有两个实数根；
（2）先讨论x₁，x₂的正负，再根据根与系数的关系求解．
点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度比较大，关键是正确分类讨论x₁，x₂的正负再进行求解．