Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合)．以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）当DE∥AB时(如图2)，求AE的长；

（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，BD=9

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；

（2）证明，根据相似三角形的性质求出，根据平行线分线段成比例定理列式求出；

（3）作于，于，于．根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．

解：（1）证明：，

，

，，

，又，

．

（2）解：，

，

，

，

，即，

解得，，

，

，即，

解得，；

（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．

理由如下：如图3，作于，于，于．

则四边形为矩形，

，，

，，

，

在中，由勾股定理，得，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，即，

解得，，

，

，

，，

，

．