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【题目】如图,AB是O的直径,OD弦BC于点F,交O于点E,连结CE、AE、CD,若AEC=ODC.

(1)求证:直线CD为O的切线;

(2)若AB=5,BC=4,求线段CD的长.

【答案】(1)详见解析;(2)DC=

【解析】

试题分析:(1)利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出OCF+DCB=90°,即可得出答案;(2)利用圆周角定理得出ACB=90°,利用相似三角形的判定与性质得出DC的长.

试题解析:(1)证明:连接OC,

∵∠CEA=CBA,AEC=ODC,

∴∠CBA=ODC,

∵∠CFD=BFO,

∴∠DCB=BOF,

CO=BO,

∴∠OCF=B,

∵∠B+BOF=90°,

∴∠OCF+DCB=90°,

直线CD为O的切线;

(2)解:连接AC,

AB是O的直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠DCO=ACB,

∵∠D=B

∴△OCD∽△ACB,

∵∠ACB=90°,AB=5,BC=4,

AC=3,

解得DC=

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