Question

如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，且PB=3，BF⊥BP，请在射线BF找一点M，使点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，求PM的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：根据△ABP和△BMC相似可求得BM的长，再在Rt△PBM中利用勾股定理求PM即可．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，PB⊥BF，
∴∠ABC=∠PBF=90°，
∴∠ABP+∠PBC=∠PBC+∠CBF，
∴∠ABP=∠CBF，
当△ABP∽△CBM时，则有

AB

BC

=

BP

BM

，即

4

4

=

3

BM

，解得BM=3，在Rt△PBM中，由勾股定理可求得PM=5；
当△ABP∽△MBC时，则有

AB

BM

=

BP

BC

，即

4

BM

=

3

4

，解得BM=

16

3

，在Rt△PBM中，由勾股定理可求得PM=

337

3

；
综上可知PM为5或

337

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类思想的应用．