Question

【题目】如图（1），在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作于点G，交AD于点F．

（1）求证：；

（2）如图（2），当点E运动到AB的中点时，连接DG，求证：；

（3）如图（3），在（2）的条件下，过点C作于点H，分别交AD，BF于点M，N，求证：．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析

【解析】

（1）先判断出∠GCB+∠CBG＝90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，即可得出结论；

（2）取BC中点P，连接PD交CG于Q，先证平行四边形PBFD，进而可证PD是CG的垂直平分线，由此可得结论；

（3）先证得，再证得，继续证得得进而可得结论．

证明：（1）∵BF⊥CE，

∴∠CGB＝90°，

∴∠GCB+∠CBG＝90，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，

∴∠FBA+∠CBG＝90，

∴∠GCB＝∠FBA，

∴△ABF≌△BCE（ASA）；

（2）如图，取BC中点P，连接PD交CG于Q，

∵F是AD中点

∴，

∴为平行四边形，

∴，

∴Q是CG中点，

又，

∴，

∴PD是CG的垂直平分线，

∴，

（3）∵E是AB中点，P是BC中点，

∴，

又∵，

∴，

由（2）知：

∴

又∵，，

∴

∴

又∵

∴

又∵在中，

∴

∴

∴，

∴．