Question

【题目】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=8，点E是AB的中点，以AE为边作等边△ADE（点D与点C分别在AB异侧），连接CD，则△ACD的面积是_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接CE，根据圆的定义，证明D、A、C、B四点共圆，可得∠ADC=∠ABC=45°，作AF⊥CD于F，构建等腰直角三角形ADF和含30°角的直角三角形AFC，可以求得AF、DF、CF的长，利用三角形面积公式可得结论．

解：连接CE，
∵∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=AE=BE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，
∴DE=AE=CE=BE，
∴D、A、C、B在以点E为圆心的圆上，作⊙E，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
过A作AF⊥CD于F，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵AD=AE=AB=4，
∴AF=DF=，

∵∠CAF=∠DAB+∠BAC-∠DAF=60°+45°-45°=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AC=2AF，

由勾股定理得：CF=，

∴S△ADC=，

故答案为：4+4．