Question

【题目】如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D．

（1）求证：AC与⊙O相切；

（2）已知AB=5，BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连结OD，过点O作OE⊥AC于E点．易证△OBD≌△OCE，从而得OE＝OD，从而得证；

（2）连接AO，先利用等腰三角形三线合一的性质得AO⊥BC， OB＝BC＝3；然后在Rt△AOB中利用勾股定理求出OA，再利用等积关系求出OD即可得解．

解：（1）证明：连结OD，过点O作OE⊥AC于E点，如图1所示：

∵AB切⊙O于D，

∴OD⊥AB，

∴∠ODB＝∠OEC＝90°，

∵O是BC的中点，

∴OB＝OC，

∵AB=AC

∴

在△OBD和△OCE中，

，

∴△OBD≌△OCE（AAS），

∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，

∴AC与⊙O相切；

（2）连接AO，如图2所示：

∵OB＝OC，AB=AC

则AO⊥BC，

∴OB＝BC＝3，

∴在Rt△AOB中，OA＝＝＝4，

∴由等积关系得：OBOA＝ABOD，

∴OD＝＝＝，

即⊙D的半径为．