Question

【题目】如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为 ________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意先利用内心的性质求出∠OEC的度数和∠COE=∠BOE，易证△COE≌△BOE，利用全等三角形的性质得∠OEB=∠OEC=135°，从而确定出点E的运动轨迹，则劣弧OB的长即为所求．

解：∵CD⊥OB

∴∠ODC=90°

∵点E是△ODC的内心

∴∠OEC=90°+∠ODC=135°，∠COE=∠BOE

又∵OE=OE，OB=OC

∴△COE≌△BOE

∴∠OEB=∠OEC=135°

∴点E的运动轨迹为：以OB为弦，并且弦OB所对圆周角为135°的一段劣弧．

设经过点O、B、E三点的圆M如图所示，

则∠N=180°-∠OEB=45°

∴∠M=2∠N=90°

∴OM=BM=OB=2

∴劣弧OB的长

∴内心E所经过的路径长为．

故答案为：．