Question

【题目】如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E、F．

（1）求证：四边形AECF是菱形;

（2）当BE=3，AF=5时，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）在Rt△ABE中，利用勾股定理可求得AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理解答即可．

（1）如图，连接AE，CF，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=FC，AE=EC，
∴∠FAC=∠FCA，
∴∠FCA=∠ACB，
∵∠FCA+∠CFE=90°，∠ACB+∠CEF=90°，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
∴AF=FC=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；

（2）∵四边形AECF是菱形，AF=5，

∴CE=AF=AE=5，

由∠B=90°，

∴在Rt△ABE中，

AB=．

∵BC=BE+EC=8，

∴．