Question

【题目】（2014河南22题）

（1）问题发现

如图①，和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE；

填空：

①的度数为__________；

②线段AD、BE之间的数量关系为__________．

（2）拓展探究

如图②，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE．请判断的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图③，在正方形ABCD中，，若点P满足，且，请直接写出点A到BP的距离．

图① 图② 图③

Answer 1

【答案】（1）①60°；②；（2）①；②，详见解析；（3）或

【解析】

（1）[思维教练]由和均为等边三角形可证，即可知AD与BE之间的数量关系，再由等边三角形和全等三角形的性质求得的度数；

[自主作答]

（2）[思维教练]由和均为等腰直角三角形可证，即可知，，再由是等腰直角三角形，可知，从而证明结论．

[自主作答]

（3）[思维教练]根据题意可作以点D为圆心，PD长为半径的圆，再过点B作圆的切线，分两种情况：第一种情况过点A作于点M，过点A作AP的垂线，交BP于点，易证，即可得，由勾股定理可求PB的长，从而求得的长，再由是等腰直角三角形可得，即可求解；第二种情况与第一种情况相同解法可得，运用勾股定理和全等三角形求出与PB的长即可求解．

解：(1)① 60°；②；

[解法提示]①和均为等边三角形，，，，，，，，，，，；②由①得，．

(2)①；②．理由如下：和均为等腰直角三角形，，，，，即，，，，．在等腰直角三角形中，为斜边上的高，，，；

(3) 或．

[解法提示]，，是以点为圆心，以1为半径的的切线，点为切点．第一种情况：如解图①，过点作于点，作交于点，易证，，．，，，．，，第二种情况：如解图②，可得．

图① 图②