Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，点B是抛物线与y轴交点，点M、N同时从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴的负半轴、y的负半轴方向匀速运动，（当点N到达点B时，点M、N同时停止运动）．过点M作x轴的垂线，交直线AB于点C，连接CN、MN，并作△CMN关于直线MC的对称图形，得到△CMD．设点N运动的时间为t秒，△CMD与△AOB重叠部分的面积为S．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当0＜t＜2时，

①求S与t的函数关系式.

②直接写出当t＝_____时，四边形CDMN为正方形.

（3）当点D落在边AB上时，过点C作直线EF交抛物线于点E，交x轴于点F，连接EB，当S△CBE：S△ACF＝1：3时，直接写出点E的坐标为______．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣4；（2）①S＝﹣t2+2t；②；（3）（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6）．

【解析】

（1）抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（2，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+8）（x﹣2）＝a（x2+6x﹣16），根据x=0时y=-4可得﹣16a＝﹣4，解得：a＝，即可求解；（2）①根据OM＝ON＝t可得AM＝8﹣t，由MC∥y轴，根据平行线分线段成比例定理可得，可得MC＝（8﹣t），进而可得S＝S△MCN＝MC×t＝﹣t2+2t；②根据MC＝ND＝2t，即可求解；（3）过点E、F分别作AB的垂线交AB于点G、H，利用待定系数法可得直线AB的解析式，根据对称性质可得DM＝MN＝t，可证明△DMN是等腰直角三角形，可得DN=MN，即可求出t值，可得点C（﹣2，﹣3），即可得出AC=3BC，根据S△CBE：S△ACF＝1：3，可得EG＝FH，利用AAS可证明△FHC≌△EGC，可得FC=EC，故点C是EF的中点，设F（m，0），根据中点坐标公式可用m表示出E点坐标，代入二次函数解析式即可求出m的值，可得E点坐标．

（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，

∴抛物线与x轴另外一个交点坐标为（2，0），

∴抛物线的表达式为：y＝a（x+8）（x﹣2）＝a（x2+6x﹣16），

∵点B是抛物线与y轴交点，

∴B（0，4），

∴﹣16a＝﹣4，

解得：a＝，

∴抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣4.

（2）如图1，①∵OM＝ON＝t，

∴AM＝8﹣t，

∵MC∥y轴，

∴，即，

解得：MC＝（8﹣t），

∵△CMN与△CMD关于直线MC对称，

∴S△CMD=S△CMN，

∵0＜t＜2，

∴S＝S△MCN＝MC×t＝﹣t2+2t.

②四边形CDMN为正方形时，MN=，

∴MC＝ND＝=2t，

∴MC＝（8﹣t）＝2t，

解得：t＝，

故答案为：

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，

∵A（-8，0），B（0，-4），

∴，

解得：，

∴直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣4，

如图2，当点D在AB上时，设点M（﹣t，0），

∴N（0，-t），

当y=-t时，﹣x﹣4=-t，

解得：x=2t-8，

∴点D（2t﹣8，﹣t），

∴DN=8-2t，

∵OM=ON=t，

∴MN＝t，∠OMN=∠ONM=45°，

∵MC⊥x轴，

∴∠CMN=45°，

∵△CMN与△CMD关于直线MC对称，

∴∠DMC=∠CMN=45°，

∴∠DMN=90°，

∴△DMN是等腰直角三角形，

∴DN=MN，即8-2t=×t，

解得：t=2，

∵点C在直线AB上，MC⊥x轴，

∴当x=-2时，y=-×(-2)-4=-3，

∴点C（﹣2，﹣3），

∴AC＝=3，BC==，

∴AC＝3BC，

如图3,过点E、F分别作AB的垂线交AB于点G、H，

∵S△CBE：S△ACF＝1：3，

∴AC·FH=3×BC·EG，即×3BC·FH=3×BC·EG，

∴EG＝FH，

∵FH⊥AB，EG⊥AB，

∴∠FHC=∠EGC=90°，

在△FHC和△EGC中，，

∴△FHC≌△EGC，

∴FC=EC，

∴点C是EF的中点，设点F（m，0），E(x，y)，

∵点C（﹣2，﹣3），

∴，，

解得：x=-4-m，y=-6，

∴点E（﹣4﹣m，﹣6），

把点E的坐标代入抛物线表达式得：-6=（-4-m）2+(-4-m)-4，

解得：m＝0或﹣2，

当m=0时，-4-m=-4，点E坐标为（-4，-6），

当m=-2时，-4-m=-2，点E坐标为（-2，6），

综上所述：点E的坐标为：（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6），

故答案为：（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6）．