Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点A作AE//BC与过点D作CD的垂线交于点E.

（1）如图1，若CE交AD于点F，BC=6，∠B=30°，求AE的长；

（2）如图2，求证AE+CE=BC.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）见详解.

【解析】

（1）由点D是AB中点，∠B=30°得到△ACD是等边三角形，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到AC=，由BC=6，即可得到AC=，同理可计算得到；

（2）延长ED，交BC于点G，可证△ADE≌△BDG，得到AE=BG，然后证明△CDE≌△CDG，得到CE=CG，然后即可得到AE+CE=BC.

解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，

∴AD=BD=CD，

∵∠B=30°，

∴∠BCD=∠B=30°，∠BAC=60°

∴△ACD是等边三角形.

∴AC=AD=

∵AE//BC，CD⊥DE，

∴∠CAE=∠ACB=90°，∠CDE=90°，

∴△ACE≌△DCE，

∴∠ACE=∠DCE=30°，

∴CE=2AE.

在Rt△ABC中，，BC=6，

∴，

∴，

同理，在Rt△ACE中，

解得：，

∴AE的长度为：2.

（2）如图，延长ED，交BC于点G，则

∵点D是AB的中点，

∴AD=BD，

∵AE∥BC，

∴∠EAD=∠GBD，

∵∠ADE=∠BDG，

∴△ADE≌△BDG（ASA），

∴AE=BG.DE=DG

∵CD⊥ED，

∴∠CDE=∠CDG=90°,

又CD=CD，

∴△CDE≌△CDG（SAS）,

∴CE=CG，

∵BC=BG+CG，

∴BC=AE+EC.