【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,顶点B的坐标为(4,2)点M是边BC上的一个动点(不与B、C重合),反比例函数 (k>0,x>0)的图象经过点M且与边AB交于点N,连接MN.
(1)当点M是边BC的中点时,求反比例函数的表达式;
(2)在点M的运动过程中,试证明:是一个定值.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据待定系数法,可得反比例函数解析式;
(2)根据自变量与函数值的对应关系,可得点M、N坐标,根据线段的和差,可得MB,BN,根据分式的性质,可得答案.
(1)矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,顶点B的坐标为(4,2),点M是边BC的中点,得M(2,2).
反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过点M,∴k=2×2=4,反比例函数解析式为:.
(2)设M点坐标为(x,2).
∵反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过点M,∴2x=k,∴x=,∴MB=4﹣=.
∵反比例函数y=(k>0,x>0)的图象经过点M且与边AB交于点N,∴N点的横坐标是4,当x=4时,y=,∴N点的坐标是(4,),∴NB=2﹣=
==2,∴是一个定值.
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【题目】“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.
如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)
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【题目】如图,某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( )
A. 40海里 B. 60海里 C. 20海里 D. 40海里
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【题目】我们已经知道一些特殊的勾股数,如三连续正整数中的勾股数:3、4、5;三个连续的偶数中的勾股数6、8、10;事实上,勾股数的正整数倍仍然是勾股数.
(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数,毕达哥拉斯学派提出的公式:a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数,请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数.
(2)然而,世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中,书中提到:当a=(m2﹣n2),b=mn,c=(m2+n2)(m、n为正整数,m>n时,a、b、c构成一组勾股数;利用上述结论,解决如下问题:已知某直角三角形的边长满足上述勾股数,其中一边长为37,且n=5,求该直角三角形另两边的长.
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【题目】如图,已知在Rt△ABC中,AB=AC=3,在△ABC内作第一个内接正方形DEFG;然后取GF的中点P,连接PD、PE,在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ;再取线段KJ的中点Q,在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去,则第2014个内接正方形的边长为____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,AC=3,AB=4,D为斜边BC的中点,E为AB上一个动点,将△ABC沿直线DE折叠,A,C的对应点分别为,,交BC于点F,若△BEF为直角三角形,则BE的长度为______.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),过(1,y1)、(2,y2).下列结论:①若y1>0时,则a+b+c>0; ②若a=2b时,则y1<y2;③若y1<0,y2>0,且a+b<0,则a>0.其中正确的结论个数为( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
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【题目】如图1,E为矩形ABCD边AD上一点,点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q从点B沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/s.若P,Q同时开始运动,设运动时间为t(s),△BPQ的面积为y(cm2).已知y与t的函数图象如图2,则下列结论错误的是【 】
A.AE=6cm B.
C.当0<t≤10时, D.当t=12s时,△PBQ是等腰三角形
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线.交BC于点E.
(1)求证:BE=EC
(2)填空:①若∠B=30°,AC=2,则DB= ;
②当∠B= 度时,以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形.
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