Question

（本题满分12分）．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）

Answer 1

（1）y＝－5x2＋800x－27500；

（2）当x＝80时，y最大值＝4500；

（3）销售单价应该控制在82元至90元之间．

【解析】

试题分析：（1）根据每天的销售利润=一件的利润×每天的销售量可列出y与x的函数关系式；（2）将（1）中二次函数关系式配方，化成顶点式，确定二次函数顶点坐标即可；（3）当y＝4000时，求出销售单价x的值，可确定每天的销售利润不低于4000元时x的取值范围，再根据每天的总成本不超过7000元，确定x的取值范围，确定公共部分，从而得解．

试题解析：【解析】
（1）y＝（x－50）[50＋5（100－x）]

＝（x－50）（－5x＋550）

＝－5x2＋800x－27500

∴y＝－5x2＋800x－27500．

（2）y＝－5x2＋800x－27500

＝－5（x－80）2＋4500

∵a＝－5＜0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，

∴当x＝80时，y最大值＝4500．

（3）当y＝4000时，－5（x－80）2＋4500＝4000，

解这个方程，得x1＝70，x2＝90．

∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．

由每天的总成本不超过7000元，得50（－5x＋550）≤7000，

解这个不等式，得x≥82．

∴82≤x≤90．

∵50≤x≤100，

∴销售单价应该控制在82元至90元之间．

考点：1．确定函数关系式； 2．二次函数的应用；3．函数与不等式．