Question

【题目】如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④2EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数为_____．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根据轴对称的性质可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，由∠EAD＝3∠BAC﹣360°可得①正确；易证△ABE是等边三角形，根据翻折的性质和三角形内角和定理可得∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确；根据S△ACE＝S△ADB，可得BD边上的高与CE边上的高相等，利用角平分线的判定定理可证③正确；条件不足，无法证明2EA＝ED，故④错误；在△ABP和△AEQ中，易证BP＜EQ，故⑤错误.

解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，

∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，

∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确；

∴∠ABE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠BAE＝60°，

由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，

又∵∠EPO＝∠BPA，

∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确；

∵△ACE≌△ADB，

∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，

∴BD边上的高与CE边上的高相等，

即点A到∠BOC两边的距离相等，

∴OA平分∠BOC，故③正确；

只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④错误；

在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，

∴BP＜EQ，故⑤错误；

综上所述，结论正确的是①②③．