Question

【题目】现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N．

如图1，若点O与点A重合，容易得到线段OM与ON的关系．

（1）观察猜想：如图2，若点O在正方形的中心（即两条对角线的交点），OM与ON的数量关系是___________；

（2）探究证明：如图3，若点O在正方形的内部（含边界），且OM=ON，请判断三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成什么图形，并说明理由；

（3）拓展延伸：若点O在正方形的外部，且OM=ON，请你在图4中画出满足条件的一种情况，并就“三角板在各种情况下（含外部）移动，所有满足条件的点O所组成的图形”，写出正确的结论．（不必说明

Answer 1

【答案】（1）相等（OM=ON）；（2）判断：三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成线段AC（对角线AC），证明详见解析；（3）详见解析．

【解析】

（1）连接、，则通过判定，可以得到；

（2）过点作，作，可以通过判定，得出，进而发现点在的平分线上；

（3）如图4，可以运用（2）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论.

（1）相等（OM=ON）；

（2）判断：三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成线段AC（对角线AC）.

如图3，过点O分别作OE⊥BC，OF⊥CD，垂足分别为E，F，则∠OEM=∠OFN=90°．

又∵∠C=90°，

∴∠EOF=∠MON =90°.

∴∠MOE=∠NOF．

在△MOE和△NOF中，∵∠OEM=∠OFN，∠MOE=∠NOF，OM=ON，

∴△MOE≌△NOF（AAS）.

∴OE=OF．

又∵OE⊥BC，OF⊥CD，

∴点O在∠C的角平分线上.

∴三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成线段AC（对角线AC）.

（3）画图如图4：

三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成直线AC或过点C且与AC垂直的直线．